Tóm tắt
OpenAI công bố một lời giải cho bài toán tồn tại và tính trơn của phương trình Navier–Stokes, một trong bảy Bài toán Thiên niên kỷ. Hệ thống nội bộ của công ty tạo ra cả chứng minh giải tích lẫn bản formalization bằng Lean, với kết luận rằng một dòng chất lỏng ba chiều ban đầu trơn có thể hình thành singularity trong thời gian hữu hạn.
Đây là tuyên bố từ nhóm tạo ra lời giải, chưa thay thế quy trình thẩm định độc lập của cộng đồng toán học. OpenAI cũng nói họ không định nhận giải thưởng Thiên niên kỷ cho kết quả này.
Bài toán Navier–Stokes hỏi gì?
Phương trình Navier–Stokes dùng định luật II Newton để mô tả chuyển động của chất lỏng dưới dạng môi trường liên tục, thay vì theo dõi từng phân tử. Chúng được dùng trong thiết kế máy bay, dự báo thời tiết và nghiên cứu dòng máu.
Câu hỏi còn mở là liệu chuyển động trơn của chất lỏng không nén được trong ba chiều có luôn duy trì tính trơn hay không. Một singularity xuất hiện khi vận tốc tăng không bị chặn trong một khoảng thời gian hữu hạn, bất chấp độ nhớt vốn có tác dụng làm trơn chuyển động. Nếu điều đó xảy ra, mô hình liên tục sẽ không còn đủ để mô tả hệ.
Jean Leray đã chứng minh từ năm 1934 rằng nghiệm tồn tại theo nghĩa suy rộng. Năm 2000, Clay Mathematics Institute đưa câu hỏi về tồn tại và tính trơn vào danh sách Bài toán Thiên niên kỷ.
Kết quả chính
Hệ thống của OpenAI xây dựng một phản ví dụ với các đặc điểm:
- Chất lỏng bắt đầu từ trạng thái nghỉ và trơn.
- Một lực ngoài trơn được áp dụng trong quá trình chuyển động.
- Năng lượng của hệ vẫn hữu hạn từ lúc bắt đầu đến khi singularity hình thành.
- Kết quả nhằm thiết lập các mệnh đề C và D trong phát biểu chính thức của Clay Mathematics Institute.
Lời giải mô tả một vortex xoáy vào trong và ngày càng bị kéo dài. Vùng trung tâm co lại trong khi vận tốc tăng, nhưng tổng năng lượng vẫn hữu hạn. Thách thức kỹ thuật là để các thành phần như gia tốc, gradient áp suất, truyền động lượng và độ nhớt cùng trở nên rất lớn nhưng triệt tiêu nhau đủ chính xác, nhờ đó lực ngoài vẫn trơn.
Hệ thống đã tìm lời giải như thế nào?
OpenAI cho biết model nội bộ dùng cho dự án mạnh hơn đáng kể so với GPT-6 Astra và vẫn đang được huấn luyện. Sau khi nghe tin đồn rằng hai Bài toán Thiên niên kỷ có thể đã được giải, nhóm bắt đầu đánh giá model trên các biến thể của những bài toán còn mở từ ngày 1 tháng 9.
Hệ thống phối hợp nhiều nhóm agent, cho phép đọc bản cache của Internet, chạy code và trao đổi trong từng nhóm. Riêng nhóm tạo ra lời giải Navier–Stokes có quy mô khoảng 10.000 agent. Các nhóm được giao riêng những hướng có thể dẫn đến chứng minh hoặc phản ví dụ; sau đó Codex tổng hợp những insight hữu ích để chuyển giữa các nhóm.
Trước Navier–Stokes, gần 100 agent làm việc khoảng 50 giờ để tạo phản ví dụ cho bài toán regularity của phương trình Euler không có lực ngoài. Kết quả đó khiến nhóm chuyển thêm tài nguyên sang Navier–Stokes.
Các agent hoàn thành lời giải sau khoảng 88 giờ, vào ngày 5 tháng 9. Formalization và xác minh bằng Lean với GPT-6 Astra cần thêm 17 giờ. Riêng dự án Navier–Stokes sử dụng khoảng 2,7 triệu message và 130 tỷ output token; toàn bộ đợt thử nghiệm dùng 4,9 triệu message và khoảng 300 tỷ output token.
Công trình đồng thời và nguồn dữ liệu
OpenAI nói dự án bắt đầu sau một tin đồn liên quan đến Levent Alpöge và Tristan Buckmaster. Hai nhà nghiên cứu này có kết quả cho bài toán Euler có lực ngoài, trong khi hệ thống OpenAI giải biến thể Euler không lực ngoài và sau đó là Navier–Stokes.
Công ty tuyên bố nhóm và các agent không xem công trình của họ trước khi nó được công bố. OpenAI đồng thời thừa nhận không thể loại trừ hoàn toàn khả năng dữ liệu đã khử định danh từ việc sử dụng sản phẩm từng góp phần cải thiện model. Công ty cho rằng các chứng minh và kết quả Euler cụ thể của hai bên khác nhau.
Ý nghĩa với dev
Kết quả này cho thấy capability không còn nằm trong một model đơn lẻ. Orchestration, quyền dùng tool, cơ chế chia sẻ insight và verifier hình thức là các phần của cùng một hệ thống.
Khi đánh giá một tuyên bố tương tự, dev nên yêu cầu ít nhất bốn lớp bằng chứng: tổng compute, nguồn gốc dữ liệu, artifact có thể kiểm tra và quy trình xác minh độc lập. Một bản Lean formalization là tín hiệu mạnh, nhưng vẫn cần cộng đồng toán học kiểm tra cả phát biểu, giả thiết và chuỗi chứng minh.